Cara Mengerjakan Soal Akar-akar PK

Akar-akar persamaan kuadrat (PK) adalah nilai $x$ yang menyebabkan persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ berniali benar. Dengan kata lain, akar-akar PK adalah himpunan penyelesaian dari PK $ax^2+bx+c=0$ yang terdiri dari $x_1$ dan $x_2$. Misalkan, akar-akar dari PK $x^2+4x-5=0$ adalah $x_1=1$ dan $x_2=–5$ karena jika kita masukan nilai masing-masing tersebut ke PK $x^2+4x-5=0$ akan bernilai benar:
$\begin{align} (1)^2+4(1)-5 &=1+4-5 \\ &=0 \end{align}$
$\begin{align} (-5)^2+4(-5)-5 &=25-20-5 \\ &=0 \end{align}$
Untuk mengetahui bagaimana menentukan akar-akar persamaan kuadrat, silahkan baca Cara Mengerjakan Soal Persamaan Kuadrat. Pada tulisan ini, kita akan membahas jenis akar-akar persamaan kuadrat, jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, contoh-contoh soal yang berhubungan dengan keduanya beserta penyelesaiannya.

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Apabila menggunakan rumus, bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki akar-akar $x_{1;2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Perhatikan nilai $D=b^2-4ac$, nilai ini disebut diskriminan yang akan digunakan untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat:
  1. Jika $D>0$ maka PK memiliki dua akar nyata yang berbeda yaitu $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1 \neq x_2$.
  2. Jika $D=0$ maka PK memiliki akar nyata kembar yaitu $x_1=x_2$.
  3. Jika $D<0$ maka PK tidak memiliki akar yang nyata (akarnya khayal).
Contoh soal: Tentukan jenis akar persamaan $x^2-7x+12=0$
Jawab:
Dari persamaan $x^2-7x+12=0$, diketahui a=1, b=-7, c=12 sehingga
$\begin{align} D &=b^2-4ac \\ &=(-7)^2-4(1)(12) \\ &=49-48 \\ &=1 \end{align}$
Karena D>0 maka akar-akarnya nyata.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika $ax^2+bx+c=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$, maka berlaku:
1. $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$
2. $x_1.x_2= \frac{c}{a}$
3. $x_1-x_2= \frac{ \sqrt{D}}{a}$
Contoh soal: Diketahui PK $x^2+x-12=0$. Tentukan jumlah, selisih, dan hasil kali akar-akar PK tersebut!
Jawab:
$\begin{align} x_1+x_2 &=\frac{-b}{a} \\ &=\frac{-1}{1} \\ &=-1 \end{align}$
$\begin{align} x_1 . x_2 &=\frac{c}{a} \\ &=\frac{-12}{1} \\ &=-12 \end{align}$
$\begin{align} x_1-x_2 &=\frac{\sqrt{D}}{a} \\ &=\frac{\sqrt{1^2-4(1)(-12)}}{1} \\ &=\sqrt{1+48} \\ &=\sqrt{49} \\ &=\pm 7 \end{align}$
Catatan:
1. Syarat agar PK mempunyai dua akar positif: a) $D \ge 0$ b) $\frac{-b}{a} \ge 0$ c) $\frac{c}{a} \ge 0$.
2. Syarat agar PK mempunyai dua akar negatif: a) $D \ge 0$ b) $\frac{-b}{a} < 0$ c) $\frac{c}{a} < 0$

Contoh-contoh Soal UN

1. Persamaan kuadrat $(p-2)x^2-2px+2p-7=0$ mempunyai dua akar saling berkebalikan. Nilai p adalah… (UN 2008/2009)
Jawab:
$\begin{align} x_1. \frac{1}{x_1} &=\frac{2p-7}{p-2} \\ \Leftrightarrow 1 &= \frac{2p-7}{p-2} \\ \Leftrightarrow p-2 &=2p-7 \\ \Leftrightarrow p &=5 \end{align}$
2. Akar-akar persamaan $x^2+(2a-3)x+18=0$ adalah p dan q. Jika p=2q untuk p>0, q>0 makanilai a-1 adalah… (UN 2008/2009)
Jawab:
$\begin{align} pq &= \frac{18}{1} \\ \Leftrightarrow (2q)q &=18 \\ \Leftrightarrow q^2 &=9 \rightarrow q=3 \rightarrow p=2(3)=6  \end{align}$
$\begin{align} p+q &= \frac{-2a+3}{1} \\ \Leftrightarrow 3+6 &=-2a+3 \\ \Leftrightarrow a &=-3  \end{align}$.
Jadi, a-1=-3-1=-4.
3. Grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+2  \sqrt{2}x+(a-1); \ \ a \neq 0$ memotong sumbu X di dua titik berbeda. Batas-batas nilai a yang memenuhi adalah... (UN 2010/2011)
Jawab:
Grafik fungsi f(x) memotong sumbu X saat f(x)=0 sehingga dua titik berbeda tersebut selain disebut titik potong pada sumbu X juga merupakan akar-akar PK $ax^2+2  \sqrt{2}x+(a-1)=0$. Karena itu nilai D>0 sehingga
$\begin{align} b^2-4ac &>0 \\ (2\sqrt{2})^2-4(a)(a-1) &>0 \\ 8-4(a^2-a) &>0 \\ -4a^2+4a+8 &>0 \\ 2a^2-2a-4 &<0 \\ (a-2)(2a+2) &<0 \end{align}$
$a-2<0 \\ a<2$ atau $2a+2 >0 \\ a> -1$
Jadi, $-1<a<2$
Bagi yang belum tahu mengerjakan operasi pada bentuk aljabar silahkan baca Cara Mengerjakan Operasi Bentuk Aljabar.

Berlangganan Update Artikel Terbaru

0 Response to "Cara Mengerjakan Soal Akar-akar PK"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Mau tanya soal?
Kirim ke https://f-math.web.id
Web Tanya Jawab Soal Matematika Indonesia Terbaru 2019

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Sebagian pembahasan dalam blog ini dimuat dalam Ebook yang membahas Matematika Dasar sebagai persiapan belajar Matematika tingkat lanjutan. Kami beri judul dengan "Matematika Dasar untuk Pemula ke Perguruan Tinggi" karena pembahasannya dibuat sesederhana mungkin yang bisa dipahami oleh orang yang memiliki kesulitan dalam belajar Matematika. Dapatkan Ebooknya di Google Play Book, KLIK DI SINI!